En nuestra sociedad global competitiva, el diseño exitoso y económico de estructuras automotrices e industriales es crucial. La optimización de la geometría de piezas individuales de máquinas complejas mejora el rendimiento y la eficiencia de todo el dispositivo.
Para lograr esto, las industrias automotriz y aeronáutica a menudo confían en la optimización de la forma, un enfoque que utiliza el modelado para crear un marco para hacer que los dispositivos sean lo más suaves y eficientes posible ". Una rotación más suave del rotor puede aumentar la eficiencia energética delmotor, y al mismo tiempo reducir los efectos secundarios no deseados como el ruido y las vibraciones ", dice el matemático Ulrich Langer.
Langer, junto con Peter Gangl, Antoine Laurain, Houcine Meftahi y Kevin Sturm, fueron coautores de una publicación en papel en el Revista SIAM sobre Computación Científica que utiliza técnicas de optimización de forma para mejorar el rendimiento de un motor eléctrico. "Mediante los métodos de optimización de forma, ahora se pueden determinar las geometrías óptimas del motor que no se podían imaginar de antemano", dice Langer.
Los problemas de optimización de formas generalmente se resuelven minimizando la función de costo, una fórmula matemática que predice las pérdidas o 'costo' correspondientes a un proceso; el objetivo final es la creación de una forma óptima, una que minimice la función de costo mientrascumplir con ciertas restricciones.
Langer y sus coautores aplican técnicas de optimización a un motor eléctrico sin escobillas de imán permanente interior IPM, del tipo que a veces se usa en lavadoras, ventiladores de refrigeración de computadoras y herramientas de ensamblaje. El rotor interno del motor contiene un núcleo de hierro e imanes permanentes.No todas las partes de la geometría del rotor pueden ser alteradas, los autores identifican una subregión de diseño modificable en el núcleo de hierro del rotor sobre el cual aplicar la optimización de forma. Su objetivo es mejorar el funcionamiento del rotor, resultando así en una mayor suavidad.patrón de rotación deseable.
"Diferenciar con respecto a la forma es más complicado que diferenciar una función", dice Antoine Laurain. "De hecho, hay muchas maneras de definir las perturbaciones y la diferenciación de formas con respecto a las formas. La llamada 'derivada de formas' esuna encarnación de estas posibilidades. Nos permite explorar una amplia gama de geometrías posibles para la optimización. "A diferencia de la derivada topológica, que genera una forma con contornos desiguales, la derivada de la forma emplea una alteración suave del límite. Implementando la forma obtenidaLa derivada en un algoritmo numérico proporciona una forma que permite a los autores mejorar el patrón de rotación.
Los procedimientos de optimización de los autores provienen de métodos lagrangianos para abordar problemas no lineales y demuestran un medio eficiente y exacto para calcular la derivada de la forma de la función de costo. Este método simple e integral permite el tratamiento de ecuaciones diferenciales parciales no lineales PDEy funciones de costo general, en lugar de solo PDE lineales. En última instancia, sus procedimientos de optimización pueden lograr una disminución del 27 por ciento en el costo funcional de un motor eléctrico sin escobillas IPM, el ejemplo particular explorado en el documento.
Ahora que han utilizado efectivamente una derivada de forma en la optimización, los autores esperan experimentar más en el futuro. "Actualmente estamos trabajando en la derivación de la llamada 'derivada topológica' para el mismo problema de optimización no lineal", dicePeter Gangl. "Esta cantidad indica regiones donde un cambio local del material conduciría a una disminución de la función objetivo".
Por ahora, su aplicación de las matemáticas en forma de un método lagrangiano de forma adaptado para PDE no lineales da como resultado una forma que mejora el patrón de rotación del rotor eléctrico y el rendimiento general del motor.
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Materiales proporcionados por Sociedad de Matemática Industrial y Aplicada . Nota: El contenido puede ser editado por estilo y longitud.
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